2008年02月13日
ユークリッド空間
ってどんな空間？
ユークリッド空間（ユークリッド-くうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学の場となる平面や空間、およびその一般化である。そのような平面や空間はそれぞれ、2次元、3次元ユークリッド空間に当たる。また、ユークリッドの意味の平面などであることを明示してユークリッド平面などともいう。
非負整数 n について、n-次元ユークリッド空間 En とは、n 次元実ベクトル空間 V(En) が付随する実アフィン空間 (En, V(En)) であって、En の一点 O と V(En) の一組の基底 {e1, e2, ..., en} ⊂ V(En) を任意に選んで固定するとき、(O; e1, e2, ..., en) を O を原点とする座標系として En の各点を Rn の数ベクトルによって表せば、二点 a = (a1, a2, ..., an), b = (b1, b2, ..., bn) に対してユークリッド距離
が定められている距離空間 (En, d) である。場合によっては、この距離空間と同相な位相空間もユークリッド空間と呼び、En などであらわす。空集合を −1-次元や −∞-次元のユークリッド空間と見なす場合もある。
この定義は、距離関数を明示的な形に表すために原点と座標系を固定して、見かけ上は五つ組 (En, V(En), O, {e1, e2, ..., en}, d) として定義されているように見えるが、距離関数は原点や座標系の選び方によらず En 上の二変数関数として矛盾無く定まるものである。言い換えれば、原点や座標系はユークリッド空間 En にもとから内在しているわけではない付加的な構造であって、En には絶対的な意味での原点や座標系は存在しない。一方、ユークリッド距離 d は距離を“計算”することを考えれば便宜として座標をとることは不可避であるものの、距離そのものは座標を必要とせずに定まる En の内在的な構造である。
いったん座標系が固定されると、ユークリッド空間 En は数空間 Rn を（数ベクトル空間の標準内積 "(,)"が定める距離を持った）内積空間と考えたものと同一視されるので、座標系を固定して考えていることが明らかである場合には、ユークリッド（ベクトル）空間 Rn = (Rn, d) やユークリッド（内積）空間 (Rn, (,)) などと記すこともある。
ユークリッド空間の中では、ユークリッド幾何学が展開できる。点や直線などの術語は、座標やベクトルの関係式として記述される。ヘルマン・ワイルの公理化
平行移動、鏡映、回転などの (free) motions 、アフィン変換、射影変換などで安定な点集合論 -> エルランゲン計画
En, Rn, 平行移動群 Tn との同相性など
（以上、ウィキペディアより引用）
ここにも数式が…。
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